Matematikkeksamen 2016 for Barnehagelærer-studiet

Jeg vil gjerne dele min matematikkeksamen med dere. Jeg legger den ut akkurat som den ble levert, og kan ikke garantere at den er feilfri. Resultatet på denne ble A, så jeg tenkte at kanskje noen kan ha interesse av å lese den til egne eksamensforberedelser.

Oppgave 1

Tenk deg at du er pedagogisk leder og at du skal holde et innlegg på personalmøte om barns forståelse av tall og telling. Velg en aldersgruppe på barna. a) Beskriv en aktivitet (eller aktiviteter) som kan stimulere barns forståelse av tall og telling. b) Anvend teori og gjør rede for teoretiske begrep. c) Hvordan vil du legge til rette for minoritetsspråklige barn?


Skriv ditt svar her...
BESVARELSE
Som pedagogisk leder skal jeg holde et innlegg på personalmøte om barns forståelse av tall og telling. Jeg vil presentere en treukers plan for en barnegruppe på 3-4 år.


Rammeplanen sier at gjennom lek, samtale og hverdagsaktiviteter utvikler barna sin matematiske kompetanse. Det står også at barnehagen skal sørge for at barna opplever glede ved utforsking og lek med tall og form, samt at de skal tilegne seg gode, anvendbare matematiske begreper. Det er videre viktig at personalet i barnehagen er lyttende overfor barnas matematiske uttrykk gjennom lek, samtale og hverdagsaktiviteter og at de støtter barnas matematiske utvikling med utgangspunkt i barnas interesser og uttrykksform. Videre er det viktig å bygge opp under og motivere til matematikkglede, lærelyst og utforkning, samt å undre seg og resonnere sammen med barna. (Kunnskapsdepartementet).

For å stimulere barns forståelse av tall og telling, er det mange ulike aktiviteter vi kan legge til rette for. I første omgang skal vi på vår avdeling ha et treukers prosjekt, der den første uken handler mest om telling i samlingsstund og i hverdagsaktiviteter. Vi fokuserer mest på tallrekken fra 1-10, men vil i noen anledninger i fellesskap telle opp til 31 (dato). Når barna skal inn til samlingsrommet, vil de få tildelt hver sin nummerlapp. Det vil ligge tilsvarende lapper på stolene, og barna skal sette seg på den stolen som har samme nummer som lappen de har fått i hånden. Nummeret kan være et tallsymbol, et terningsymbol eller bilde av et antall fingre. De som trenger hjelp til å finne rett stol, vil naturligvis få det. Denne aktiviteten er ment for å bygge opp under barnas forståelse, og vi vil jobbe med å gjøre språk av 2. orden til språk av 1. orden. Språk av 1. og 2. orden forklarer jeg etter hvert.

I samlingsstund skal vi telle antall barn, og vi skal telle antall dager i uken i tillegg til at vi teller frem til dagens dato. Her vil barna lære om ordinalitet; at tall, dato (og andre ting; andre døra, femte gangen osv) kommer i en bestemt rekkefølge. Vi skal telle ulike gjenstander, og bruke ulike tellemåter: Høretelling; telle klappelyder, bakovertelling, flyttetelling, telle to og to. Tellesanger vi bruker vil være "5 små apekatter" *, der vi lar barna svare på hvor mange apekatter som er igjen etter at en er spist opp. Samtalen etter dette vil handle om dette "regnestykket", og vi vil prate om hvilke tall som kommer før og etter. Vi vil også bruke "En elefant kom marsjerende" (Carlsen, Wathne, Blomgren, 2012), så barna får oppleve å ha et nummer i rekka, og de får oppleve å bli sunget om, og være en del av det de lærer (førstehåndserfaringer). På denne måten blir de kjent med tallrekken, som er et godt utgangspunkt for å lære å telle. Det å kunne tallramsen i seg selv, betyr ikke at barna kan telle, bare at de kan den på rams, som en "meningsløs" regle. For å lære seg å telle, må barna kunne parkoble, det vil si at de kan koble ett, og bare ett objekt til hvert tall i tallremsen, at de har lært seg prinsippet om stabil ordning; at tallene kommer i en bestemt og stabil rekkefølge. De må også ha tilegnet seg kardinalprinsippet, det vil si at de skjønner at det siste tallet i rekken de kommer til når de teller noe, er det som angir antallet. Abstraksjonsprinsippet må også læres, så barna lærer seg at de kan telle alle typer gjenstander sammen. Her vil vi også komme inn på antallskonservering, som i Fosses bok kalles invarians; det at antallet ikke endres om gjenstandene for eksempel flyttes på eller plasseres anderledes. Til slutt prinsippet om irrelevant ordning, som sier at uansett hvor du begynner å telle, bare du får telt alle elementene/gjenstandene, så får du det samme antallet. Disse fem prinsippene er ikke avhengige av hverandre, med unntak av prinsippet om parkobling, som de andre prinsippene støtter seg på. Prinsippene er en viktig forkunnskap for at barna seinere kan lære seg regneprosesser (Carlsen m.fl., 2012).

* Fem små apekatter lekte i noen trær, de ertet krokodillen, du kan ikke ta oss her. Så kom krokodillen, så kjemestor og svær, Ååå, smakk (klapp i hendene), så var de bare fire...
Fire små...
Tre små...
To små...
En liten...

Telling i samlingsstund og i hverdagsaktiviteter vil gå igjen i hele denne treukers perioden. Vi vil også jobbe med eventyret om "Geitekillingen som kunne telle til ti" gjennom disse ukene. Dette eventyret viser prinsippet om stabil ordning (samme rekkefølge på tallene), parkobling (ett dyr til hvert tall), abstraksjonsprinsippet (ulike typer dyr telles sammen), samt kardinalprinsippet (det siste tallet, 10, angir totalt antall dyr). Eventyret er spennende og vi håper det vil motivere barna til å jobbe med telling. Eventyret sier noe om at det å kunne telle er nyttig og har en verdi. Når en bruker eventyr i arbeid med matematikk er det ofte lett å engasjere og inspirere barna. Vi vil bruke konkreter til eventyret for å fange interessen hos barna, men også med tanke på våre minoritetsspråklige barn. Det er ekstra viktig for dem å ha noe konkret, så de kan få med seg hva dette handler om. Morsmålassistenten vår vil forberede disse barna på forhånd med å fortelle eventyret på deres språk (med bruk av de samme konkretene), noe jeg tenker er en viktig forberedelse. De vil også jobbe med telling på morsmålet, og de vil bruke fingrene opp til 10, noe vi også gjør i felles-samlingene, så det er gjenkjennelig for alle. Når vi jobber med tospråklige barn er det viktig å jobbe med morsmålet og de ressursene de allerede har. Siden vi også jobber en del med å heve deres status i barnegruppa, vil vi hver dag telle til 10 også på deres språk. Det at de andre lærer seg noe på deres språk, vil kunne hjelpe dem med å føle seg inkludert ved at både voksne og barn viser at deres språk også har en verdi. Morsmålet er en del av identiteten. Dette er viktig for å heve disse barnas selvfølelse. I samlingsstundene vil vi ha fokus på tydelig tale, og vi vil etter hvert hjelpe de tospråklige barna våre med å flytte fokus fra et kontekstavhengig språk til et kontekstuavhengig språk. Dette vil vi gjøre med å referere til det vi jobber med i samlingsstund, eventyret og sangene når barna er i lekesituasjoner og hverdagssituasjoner. Vi vil også gjøre motsatt; å bruke samlingsstundene til å referere til lekesituasjoner og hverdagssituasjoner som bygger opp under tall og telling. I denne perioden (og videre fremover) er det viktig at personalet har en positiv holdning til matematikk og telling og at de har på seg de "matematiske brillene". Det vil si at vi, som rammeplanen sier, skal se etter barns matematiske uttrykk, og bygge opp under det med å motivere, inspirere og undre oss sammen med dem. Treffers skriver om matematisering, og beskriver det slik: "Matematisering handler om å gjøre hverdagsproblemer om til matematiske problemer ved å bruke symboler og matematiske begreper." Dette må vi voksne ha fokus på i hverdagen, og benytte de anledningene som byr seg til å telle sammen med barna eller prate om tall. Dersom barna samler ting eller gjenstander, kan vi spørre "Hvor mange har du her, mon tro?" Og vi kan telle sammen med dem, eller de kan telle alene. Med å gjøre dette, matematiserer vi et hverdagsproblem. Dersom barnet ikke mestrer å telle alene, hjelper vi dem på vei, og fungerer som et støttende stillas (Bruner). Vygotsky beskriver den proksimale utviklingssonen, og sier at det barna kan klare med litt hjelp i dag, kan de klare alene i morgen. På denne måten fungerer vi voksne som et støttende stillas for barna når de har behov for det, men etter hvert som de mestrer på egen hånd, vil stillaset (hjelpen/ støtten) være unødvendig. Vi må også være bevisste på Vygotskys teori om språk av 1. orden og språk av 2. orden. Språk av 1. orden er det som barnet forstår med det samme. For noen barn vil tre fingre være språk av 1. orden for å vise tallet tre, f. eks som svar på hvor gamle de er. Tallsymbolet 3, eller terning med tre prikker vil være språk av 2. orden, det som de ikke enda helt forstår. For å utvide barnas forståelse av tallet 3, bruker vi språk av 1. orden som et oversettelsesledd, i dette tilfellet er det tre fingre, for å utvide deres forståelse av tallet tre. For å finne ut hvor de enkelte barna er i forhold til forståelse av tall, vil vi i uke to i prosjektet vårt, observere og kartlegge dem i små grupper der vi spiller, teller og bruker rim og regler. Når vi får barna i mindre grupper, vil alle få komme til orde, og vi kan observere og kartlegge deres interesse på dette området, samt forståelse av tallrekken og evne til å telle. Dette vil foregå i ulike situasjoner, så de ulike barna får uttrykke seg på ulike områder. Grunnen til at vi vil kartlegge, er at vi ønsker å legge til rette for best mulig læring for enkeltbarn og for barnegruppen, samt at vi ønsker å fange opp dem som trenger litt ekstra oppfølging og tilrettelegging. Det vil ikke være noen dyptgående kartlegging i første omgang, men noen stikkord om hvert barn, som hjelper oss med å legge til rette for deres matematiske utvikling. På et seinere stadie kan vi vurdere kartlegging ved hjelp av MIO Matematikken - Individet - Omgivelsene (Davidsen, Løge, Lunde, Reikeråa, Dalvang). Den tredje uken skal vi på to turer, der barna deles inn i mindre grupper, og får i oppdrag å samle ting fra skogen, f.eks fem pinner, tre steiner, åtte blomster osv. Disse skal vi telle i fellesskap og lage naturbilder av på bakken. Dette blir et samarbeidsprosjekt der barnegruppa deles i to, og de voksne må naturligvis være tilstede og inspirer til telling. Voksenrollen her kan beskrives med å bruke ordet orkestrering; de voksne fungerer nesten som en dirigent i et orkester, der de gir barna ulike oppgaver, får alle til å spille på lag, samtidig som hvert enkelt barn får utfylle sin del (Carlsen m.fl, 2012). Vi vil la barna leke seg og gjøre erfaringer både når det gjelder samarbeid og telling. Gjennom lek gjør barna seg førstehåndserfaringer. Det er først og fremst  førstehåndserfaringer som driver barnas begrepsutvikling fremover (Høigård). På turene våre skal vi fotografere mye, og bruke bildene til neste ukes ettertanke og refleksjon. Barna skal få fotografere selv, og de voksne kommer til å fotografere en del. Når barna den siste uken får delta i refleksjon og undring sammen rundt bildene, vil de kunne få en dypere forståelse av prosjektets innhold og læring (Fosse). Bruk av digitale verktøy er verdifullt for læring og etterarbeid.

Om dere synes at prosjektet høres vel omfattende ut for barn på 3-4 år, så vil jeg minne om at Carlsen (2012) sier at det skjer oftere at vi undervurderer barnas matematiske kompetanse enn at vi overvurderer den.


2 OPPGAVE
Oppgave 2

Tenk deg at du er pedagogisk leder og du ønsker å organisere et opplegg som kan stimulere barns forståelse av symmetri. Planen må fremstå helhetlig og realiserbar. Anvend didaktisk relasjonsmodell. Velg et annet alderstrinn enn det du valgte i Oppgave 1. Hvordan kan du oppdage at barn har utfordringer i matematikk? Hvordan kan du stimulere disse barna i deres utvikling av matematisk forståelse?

Skriv ditt svar her...
BESVARELSE
Jeg vil planlegge en tur for barn på 5-6 år som kan stimulere deres forståelse av symmetri.

Mål
Å gi barna en forståelse av ulike typer symmetri. De skal få bli kjent med:
* Speilsymmetri
* Rotasjonssymmetri (blomster, hjulkapsler, der en form roterer rundt et punkt)
* Gliderefleksjon (blader på tre som er forskjøvet langs greinene, som fotspor)
* Translasjonssymmetri (når du ser på kun ett fotspor)
Motivere og inspirere barna til undring og refleksjon i fellesskap. Barna skal få lære seg ulike begreper rundt symmetri. Vygotsky beskriver to ulike måter å lære seg begreper på; Spontane begreper:Læres gjennom interaksjon med andre mennesker og gjenstander (førstehåndserfaringer). Vitenskapelige begreper: Læres gjennom presentasjon og forklaring fra andre, f.eks barnehagelærer. Disse læres altså gjennom andrehåndserfaringer. (Carlsen m.fl, 2012). Barna skal få gjøre seg førstehåndserfaringer, samtidig som vi forklarer dem de ulike begrepene og gir dem kunnskaper om hva som skiller de ulike begrepene fra hverandre (andrehåndserfaringer).

Arbeidsmetode
Naturen har et eget språk. Bokstavene er sirkler, trekanter og andre matematiske figurer (Galileo Galilei). Se etter dette språket, og gjør barna oppmerksomme på alt det interessante vi kan finne i naturen. Sokrates var opptatt av det gode, det vakre og det sannes natur (Skjervestad). På denne turen er det viktig at de voksne har en undrende og spørrende tilnærmingsmåte; vi bruker inquiry som metode, og undrer oss sammen med barna, legger opp til spørsmål, diskusjon, refleksjon, skaping og undring. Askeladden, barnehagebarn og inquiry deler noen viktige prinsipper når det gjelder arbeidet med matematikk (Carlsen m.fl., 2012). Vi skal inspirere og motivere barna, og gjøre dem nysgjerrige. Matematikk er å tenke, sier Olof Magne (2003). Innled til filosofiske og undrende samtaler sammen med barna, og se for deg samtalen som en lek der ingen har kontroll over retningen (Carlsen). En etymologisk forklaring på matematikk og filosofi: Filosofi kommer fra gresk og betyr kjærlighet til visom. Matematikk kommer fra det greske ordet manthanien, og betyr glad i å lære. Det er både nyttig og nødvendig å være glad i lære for en som har, eller vil utvikle en kjærlighet til visdom. Slik kan vi si at filosofi og matematikk passer sammen som hånd i hanske  (Fosse). Rammeplanen sier at gjennom lek, samtale og hverdagsaktiviteter utvikler barna sin matematiske kompetanse. Det står også at barnehagen skal sørge for at barna opplever glede ved utforsking og lek med tall og form, samt at de skal tilegne seg gode, anvendbare matematiske begreper. De skal få erfare og leke med form og mønster, samt erfare former, størrelser og mål gjennom klassifisering og sortering. Barna må få erfare orientering og plassering, og på den måten tilegne seg erfaring med lokalisering.Det er videre viktig at personalet i barnehagen er lyttende overfor barnas matematiske uttrykk gjennom lek, samtale og hverdagsaktiviteter og at de støtter barnas matematiske utvikling med utgangspunkt i barnas interesser og uttrykksform. Videre er det viktig å bygge opp under og motivere til matematikkglede, lærelyst og utforskning, samt å undre seg og resonnere sammen med barna. (Kunnskapsdepartementet). Vi skal ha fokus på form og symmetri, men må alltid være åpne for barns matematiske uttrykk, og vi skal bygge opp under det barna viser interesse for. Å lære barna om symmetri, vil være med på å utvikle deres matematiske kompetanse. Alseth definerer matematisk kompetanse som bestående av fagkunnskap, ferdigheter og problemløsning. Husk å fotografere for bruk til refleksjon og etterarbeid. Assistenten med fokus på de barna med matematiske utfordringer, skal spesielt følge opp disse to barna med filosofiske samtaler, undrende spørsmål, og praktiske erfaringer (førstehåndserfaringer). Finn ut hva barna interesserer seg for, og bruk dette til å lære dem det de strever med. Se siste del, etter Evaluering for mer informasjon.

Deltakerforutsetninger
18 barn, 5-6 år. 8 jenter og 10 gutter. 2 barn ser ut til å ha utfordringer med matematikk (en gutt og en jente).

Rammebetingelser
Tre voksne; en pedagogisk leder og to assistenter. Vi går til skogen i nærområdet, til tjernet. Ta med speil og tre-fire fotoapparat. Pedagosisk leder styrer opplegget, først med samling, og leder etterpå en gruppe på 11 barn, inkludert de to med matematiske utfordringer, sammen med en assistent som skal ha ekstra fokus på disse to barna. Den andre assistenten leder, etter samlingsstund, resten av barnegruppen, bestående av 7 barn.

Innhold
Før turen samler vi barna i garderoben for å se på kartet over hvor vi skal gå. Dette gjør vi hver gang vi skal på tur for at barna skal få noe erfaring med plassering, orientering og lokalisering, som rammeplanen sier at de skal få erfare.

Turen vil gå til den nærmeste skogen, der vi har et tjern. På veien bort skal vi se på blomster for å vise barna rotasjonssymmetri (Carlsen m.fl, 2012), vi skal studere hjulkapsler og eventuelt andre interessante ting som vekker interesse. I skogen skal pedagogisk leder holde en samlingstund ved tjernet, for å vise barna speilsymmetri, som vi kan se ved at naturen/skogen speiler seg i tjernet. Naturbildet vil være likt på begge sider av speilingsaksen (Carlsen m.fl. 2012). Det skal også vises speiling ved hjelp av et medbragt speil og ulike gjenstander som finnes i skogen. Ped. leder vil nevne ulike typer innsekter som bekrefter dette prinsippet, som marihøner, sommerfugler og biller. Videre skal vi prate om det vi så langs veien, og barna skal få fortelle hva de opplevde/fant. Rotasjonssymmetrien vil også forklares og vises ved å bruke en blomst (Carlsen m.fl. 2012). Gliderefleksjon forklares ved å vise til bladene på greiner, og hvordan de glidende kopieres oppover greinen, og translasjonssymmetri vises ved at pedagogisk leder lager forspor(Carlsen m.fl. 2012). Videre deles barnegruppa inn i to, der pedagogisk leder følger ei gruppe på 11 barn, sammen med assistent som har ekstra fokus på barna med matematiske utfordringer. Den andre assistenten har med seg 7 barn. Hold hver enkelt gruppe noenlunde samlet, da det legges opp til felles undring og refleksjon rundt det barna oppdager. Vi skal på oppdagelsesferd med fotoapparat, og barna skal få bytte på å fotografere former, mønster og symmetri. Vi undrer oss sammen, stiller spørsmål og samtaler rundt det vi finner. Klarer vi å lage et symmetrisk mønster sammen? La barna lede og skape, og husk å ta mange bilder av det som skjer. Bildene skal brukes i etterarbeid. Til slutt samles alle ved tjernet, og pedagogisk leder oppsummerer dagens erfaringer og nye kunnskaper, sammen med barna.

Etterarbeid: Gjennomføres over tre dager, og starter dagen etter:

Første dag: I samlingsstund (pedagogisk leder): Se på og prate om fotogafier fra turen, for å reflektere sammen og for at barna skal få en dypere forståelse av de eraringene som er gjort (Fosse). La barna delta i samtale, refleksjon og undring. Bildene henges opp på avdelingen, så barna kan se på dem når de ønsker. Matematikk er blant annet en samling logiske resonnementer som skaper absolutte sannheter i en usikker verden (Lorentzen). Barnehagelærer formidler de ulike prinsippene som kjenner de ulike formene for symmetri.

Andre dag: Lage sommerfugler og/eller hjerter med å male på en halvdel av et ark, og brette sammen, for å erfare speilsymmetri. Barna får lage flere varianter.

Tredje dag: Perle med runde og mangekantede perlebrett for å erfare rotasjonssymmetri.

Evaluering
Etter turen tar vi en felles evaluering i personalgruppa på avdelingen.
Nådde vi målene våre?
Hvordan gikk det med barna som har utfordringer med matematikk?
Hva var bra, og hvorfor?
Hva kan gjøres annerledes, og hvordan?

Utfordringer med matematikk

Det er flere ting barna kan ha vansker med når de har matematiske utfordringer:
*Språkfunksjonen
*Minnefunksjonen
*Kunnskapslagringen
*Romforståelsen. Med romforståelse mener vi en forståelse av rommet og en selv i forhold til det. Begreper knyttet til rommet kaller vi rombegreper (Solem og Reikerås). Romforståelse er sentral i barnas kognitive utvikling generelt (jf Piaget) og matematiske utvikling spesielt (Mosvold).
*Evneprofil

Det er kategorisert 4 ulike årsaker til matematikkvansker
*Medisinske/nevrologiske (Hvordan hjernen bearbeider informasjon)
*Psykologiske (Angst, stress, konsentrasjonsproblemer)
*Sosiale (kulturelle og miljømessige faktorer. Understimulert miljø)
*Didaktiske (Undervisningsmetoden)

Geary har omtalt 3 typer matematiske utfordringer:
*Prosedyreproblemer (Umoden bruk av prosedyrer, dårlig forståelse av prosedyrer, misforståelser ved bruk av prosedyrer)
*Semantiske minneproblemer (Problemer med regnefakta. Mulig arbeidsminneproblem ved at irrelevant informasjon forstyrrer)
*Visuo-spatielle problemer (Spatiale/romlige utfordringer. Problemer med å forstå informasjon som blir fomidlet visuelt).

Informasjonen i de tre avsnittene over er ikke noe vi går dypere inn i i barnehagealder. Det viktigste vi kan gjøre i barnehagen er å legge til rette for at barna skal få utvikle sin matematiske kompetanse / forkunnskaper på best mulig måte.

Hvordan kan vi oppdage at barn har utfordringer i matematikk i barnehagen? I barnehagen er det flere ting vi kan se etter for å oppdage om barna har matematiske utfordringer. Problemer med språk, barnerim, rytme, kopiere enkle figurer, konsentrasjon, finmotorikk og problemer med påkledning (hva i hvilken rekkefølge, hva slags klær til hvilket vær) er noe vi kan se etter.

Hva kan vi gjøre?
For å hjelpe barna som har utfordringer med disse tingene, er det viktig at vi stimulerer språk og konsentrasjon. Vi må lese mye med fokus på rytme. Vi må legge til rette med et inspirerende og motiverende miljø, vi kan gi dem bøker, lage bøker, jobbe med rytme, samt være et støttende stillas (Bruner) for dem i prosessene med å utvikle sin matematisk kompetanse. Jobb med språk og matematikk parallelt, så disse to områdene kan bygge opp under hverandre. Når en mistenker at et barn har matematiske utfordringer Det kan være lurt å observere og kartlegge ved hjelp av MIO (Davidsen, Løge, Lunde, Reikerås og Dalvang). MIO står for Matematikken - Individet - Omgivelsene, og er et kartleggingssystem bygget på Olof Magne sin inndeling av barnas matematiske kompetanse: Problemløsning, Tall og telling, Geometri. Formålet med MIO er å kunne gjøre en systematisk kartlegging av barnas matematiske kompetanse. Dette bygger opp under Rammeplanens innhold om matematikk, og formålet er å kunne legge til rette for god matematisk utvikling for barnegruppa og enkeltbarn, samt å fange opp de barna som strever og trenger ekstra oppfølging (Davidsen m.fl). Det viktigste er å fokusere på at barna er kompetente barn. Barn er ulike, og vi ønsker ikke at et barn skal få dårlig selvfølelse på grunn av lavere kompetanse enn jevnaldrende. Derfor må vi fokusere på barnets styrke og de ressursene det allerede har. Jeg ønsker her å trekke inn Howard Gardner og hans teori om de mange intelligenser. Med utgangspunkt i min erfaring fra å bruke denne teorien i praksis, der barna får lære det de strever med, gjennom noe de kan, opplever jeg dette som en viktig teori og et godt grunnlag for å heve barnas kompetanse og selvfølelse.